Présentation

[Alain Connes]

Ma recherche est centrée sur la géométrie noncommutative dont l'origine remonte à la découverte par Heisenberg de la non-commutativité des quantités observables pour un système physique en mécanique quantique. L'intérêt mathématique de la théorie provient de l'existence de nombreux espaces naturels comme l'espace des feuilles d'un feuilletage dont la description ensembliste globale comme quotient ne permet pas l'utilisation des outils classiques de la théorie de la mesure, topologie et géométrie différentielle. En remplaçant les fonctions sur un tel espace par l'algèbre de convolution des fonctions sur la relation d'équivalence on obtient un pont entre espaces quotients singuliers et algèbre non-commutative.

Chacune des théories connues mentionnées ci-dessus se prolonge au cas non-commutatif et tout l'intérêt de cette généralisation vient des phénomènes nouveaux comme l'apparition d'une dynamique (évolution dans le temps) d'un espace non-commutatif au niveau de la théorie de la mesure qui n'ont aucun analogue dans la théorie classique et relient entre eux des aspects aussi différents que les classes caractéristiques (invariant de Godbillon-Vey) et le type des facteurs associés.

C'est l'extension au cas non-commutatif de la théorie des espaces de Riemann qui a montré le rôle crucial du formalisme quantique de la notion de variable réelle comme opérateur auto-adjoint dans l'espace de Hilbert. L'élément de longueur de la théorie de Riemann devient un opérateur et la mesure des longueurs remplace l'inf des longueurs des chemins par le sup des évaluations de variables réelles vérifiant une relation de commutation avec l'élément de longueur ce qui permet en particulier de traiter les espaces discontinus. La théorie géométrique ainsi obtenue est de nature spectrale et elle donne par exemple un invariant qui, joint au spectre de l'opérateur de Dirac, permet de reconstruire une géométrie Riemannienne à partir de ses invariants. Bien entendu toute la théorie s'applique aux espaces associés à des algèbres non-commutatives. Le groupe des difféomorphismes d'une variété lisse est le groupe des automorphismes de l'algèbre des fonctions lisses sur cet espace.

Pour ces groupes la composante connexe de l'identité est en général un groupe simple, ce qui n'est pas le cas du groupe d'invariance du Lagrangien de la physique.

Mais le groupe des automorphismes d'une algèbre non-commutative comme celle des matrices sur l'algèbre des fonctions lisses sur une variété a, grâce à la présence du sous-groupe normal des automorphismes intérieurs, exactement la même structure que le groupe d'invariance du Lagrangien de la physique. C'est en partant de cette constatation que la géométrie non-commutative permet d'exprimer la gravitation couplée au modèle standard de la physique des particules comme la gravitation pure sur un espace temps dont la structure fine est de nature discrète.

De plus le Lagrangien est donné par un invariant spectral de l'élément de longueur. Nous avons obtenu récemment (en collaboration avec A. Chamseddine et S. Mukhanov) une équation de type Heisenberg et dont les solutions expliquent le contenu en particules du modèle standard couplé à la gravitation ce qui devrait être un pas important vers une théorie unifiée.

Mes recherches actuelles portent aussi sur la théorie des nombres et la découverte (en collaboration avec C. Consani) du site arithmétique qui donne un cadre géométrique où l'on peut espérer transposer la démonstration de Weil de l'hypothèse de Riemann.