Géométrie algébrique

Présentation

[Claire Voisin]

Qu'est-ce que la géometrie algébrique ? Une première réponse est que c'est l'étude d'ensembles définis par des équations polynomiales. Malheureusement c'est une réponse un peu floue, car les objets de la géometrie algébrique sont en fait beaucoup plus que des ensembles, et c'est précisément cela qui les rend intéressants. De plus, que signifie « étudier » ici ? Enfin, les polynômes peuvent être remplacés par des fonctions holomorphes dans le cadre de la géometrie analytique, et les anneaux de polynômes par des anneaux beaucoup plus généraux dans le cadre de la théorie des schémas.

Pour prendre les choses dans un ordre anti-chronologique, la géometrie algébrique développée dans les années 1960 sous l'impulsion de Grothendieck a mis l'accent sur la théorie des schémas, dans laquelle la notion d'espace et de point dans un espace disparaît au profit de l'étude des anneaux de fonctions (dans le cas le plus simple, ce sont des quotients d'anneaux de polynômes) et de leurs idéaux (plus précisément, leur spectre). Les points au sens classique du terme deviennent les points fermes, et le mérite d'une telle approche est que si le corps des coéfficients de ces polynômes n'est pas algébriquement clos, les points de cette variété définis sur une extension algébrique sont quand même visibles au niveau du spectre. Pour donner un exemple, on peut étudier (bien que l'équation soit trop simple pour que cela soit intéressant) la variété définie sur le corps ℝ des nombres réels par l'équation suivante même si elle n'a aucun point reel (d'un point de vue de geometrie classique, elle est vide !)

Formule maths présentation Voisin

Cette variété, bien que n'ayant pas de points réels, a un anneau de fonctions polynomiales réelles, qui est l'espace des polynômes ℝ[𝑥1,...,𝑥n] quotienté par l'idéal engendré par l'équation 𝑓, et elle est déterminée par la donnée de cet anneau. On voit que cette variété n'est pas « vide » en remplaçant ℝ par ℂ, et en regardant les solutions de l'équation 𝑓 pour lesquelles les 𝑥i sont des nombres complexes. Il faut noter ici que même si la théorie des schémas est récente parce qu'elle utilise de façon essentielle la théorie des faisceaux inventée par Leray pendant la seconde guerre mondiale, cette approche de la géométrie algébrique par l'étude des anneaux de fonctions remonte en fait au début du XXe, et aux travaux de Hilbert, Krull, et Noether.

Lorsque l'on travaille sur le corps des nombres complexes, la géométrie algébrique admet une approche différente par la géométrie analytique. La géométrie analytique s'occupe de variétés complexes sur lesquelles est bien définie la notion de fonction holomorphe (c'est-à-dire fonction analytiques complexes si l'on est sur un ouvert de ℂn). Le passage de la géométrie algébrique complexe à la géométrie analytique consiste à considérer les fonctions polynomiales commes des fonctions holomorphes. Cette approche remonte encore une fois au XIXe, où l'étude des surfaces de Riemann – ce sont aussi les variétés analytiques complexes de dimension 1 – s'est développée de ces deux points de vue. Ici, la référence à Riemann est essentielle pour moi, car il a développé dans le cas des surfaces de Riemann, alias courbes algébriques, la théorie des périodes, dans laquelle les univers analytique, transcendant et algébrique sont imbriqués.

Le lien entre géométrie algébrique et géométrie analytique a été établi définitivement par Serre en 1955 dans un article magistral familièrement cité sous le nom de « principe GAGA », ayant pour point de départ un résultat dû à Chow publié en 1949 : Tout sous-ensemble analytique fermé de l'espace projectif complexe est algébrique, c'est-à-dire défini par des équations polynomiales. Serre va beaucoup plus loin : Il montre que les catégories des faisceaux analytiques cohérents (on peut penser aux fibrés vectoriels holomorphes) et des faisceaux algébriques cohérents sur une variété projective complexe sont équivalentes, avec même foncteur de sections globales. Ceci explique pourquoi un géomètre algébriste travaillant sur ℂ peut librement utiliser les méthodes de la géométrie analytique, voire de l'analyse complexe, pour calculer des invariants purement algébriques. Il convient néanmoins de préciser que la géométrie algébrique fournit des informations que la géométrie analytique ne fournit pas : Typiquement, si une variété algébrique est définie par des équations à coefficients dans un corps plus petit que ℂ, par exemple des corps de nombres tels le corps ℚ des nombres rationnels si on s'intéresse à certaines questions arithmétiques, calculer ses invariants de nature cohomologique via la géométrie algébrique permet de se souvenir de ces coefficients, tandis que la géométrie analytique ne peut pas en tenir compte : il n'y a pas de notion utile de fonction holomorphe à coefficients dans ℚ.

Étant arrivée dans ce domaine en 1982, j'ai subi des influences diverses, dont celle de l'école de Griffiths qui, quoique un peu plus tardive, a coexisté à la fin des années 1960 avec celle de Grothendieck. À la suite de Riemann, Poincaré, Lefschetz, et Hodge, Griffiths a attaqué vers la fin des années 1960 l'étude de la topologie des variétés algébriques complexes du point de vue des formes différentielles. L'outil fondamental qu'il a introduit sur la base des travaux de Hodge est la notion de structure de Hodge, qui contient des informations en provenance de la topologie algébrique mais aussi des informations plus fines venant de la géométrie analytique, donc algébrique grâce à Serre. Cette notion a été magistralement étendue par Deligne qui a introduit les structures de Hodge mixtes, permettant de comprendre la topologie de variétés singulières ou non compactes à l'aide de « morceaux » taillés dans la topologie de variétés projectives.

Bien que mon intérêt pour la théorie de Hodge porte avant tout sur l'interaction entre les propriétés d'une variété algébrique sur ℂ et la topologie de la variété analytique correspondante, une partie de mes travaux en théorie de Hodge se situe en dehors de la géométrie algébrique, et concerne plus généralement la géométrie complexe kählérienne qui en est une extension naturelle découverte par Kähler en 1932 : les variétés kählériennes sont caractérisées par l'existence d'une métrique dont la 2-forme (dite de Kähler) vient se substituer au fibré en droites ample dont l'existence caractérise les variétés projectives. Un théorème fondamental démontré par Kodaira en 1954 caractérise les variétés projectives parmi les variétés kählériennes : ce sont celles qui admettent une forme de Kähler dont la classe de cohomologie est entière. Le travail pour lequel j'ai reçu le Clay Research award établit l'existence de variétés kählériennes compactes dont la topologie n'est pas celle d'une variété projective.