Synthèse et reconstruction d'états quantiques (1)

La première leçon a porté sur des rappels concernant la définition et les propriétés des états quantiques, d’une part, et la mesure en physique quantique d’autre part. Les notions d’état pur (représenté par une fonction d’onde) et de mélange statistique d’états (représenté par un opérateur densité) ont été rappelées. Nous avons à cette occasion décrit le système le plus simple, celui d’un qubit à deux états, en introduisant la représentation du vecteur de Bloch évoluant sur la sphère de Bloch (cas pur) ou à l’intérieur de celle-ci (mélange statistique). Cette représentation identifie les qubits à des spins¹⁄₂ et exploite les propriétés du moment angulaire de ces spins. Le lien entre les composantes du vecteur de Bloch et les valeurs moyennes des opérateurs de Pauli du qubit a été rappelé. La généralisation de cette description au cas d’un système à d niveaux (d > 2 ; qudit) a été brièvement évoquée. Dans ce cas, les opérateurs de Pauli sont remplacés par une base d’opérateurs tensoriels irréductibles sur lesquels l’opérateur densité du système peut être développé. Nous avons ensuite abordé la description d’un système de N qubits symétrique par échange de deux qubits quelconques en introduisant la base des états de Dicke, états propres de valeur propre maximale J = N/2 du moment angulaire total de l’ensemble des N spins ¹⁄₂ constituants du système. Les états cohérents du moment angulaire ont été ensuite décrits. Les N spins sont alors alignés dans une même direction sur une « hyper sphère de Bloch » dont la donnée des angles polaires définit l’état. Les états cohérents définissent ainsi une base continue d’états sur lesquels n’importe quel état symétrique des N qubits peut se développer. Nous avons rappelé l’analogie de cette base avec celle des états cohérents d’un oscillateur harmonique (états cohérents de Glauber). Les propriétés des états cohérents du moment angulaire (fluctuations transversales, relations de fermeture) ont été rappelées. Nous avons conclu cette partie par une discussion générale sur le caractère statistique de la notion d’état quantique, qu’il est impossible de déterminer à partir de mesures effectuées sur une seule réalisation du système. La connaissance de la fonction d’onde (cas pur) ou de la matrice densité (mélange) demande nécessairement que des observations soient effectuées sur un grand ensemble de systèmes tous préparés dans le même état. Le corollaire de cette propriété statistique est qu’il est impossible de cloner parfaitement un système quantique puisque un tel clonage permettrait de réaliser un ensemble à partir d’un seul système et introduirait une contradiction interne dans la théorie.

La seconde partie de la leçon a rappelé quelques résultats fondamentaux sur la mesure d’un système quantique. Après un bref énoncé des postulats de la mesure projective standard (projection sur les états propres de l’observable mesurée, loi de probabilité du résultat, reproductibilité de la mesure), nous avons rappelé les propriétés des mesures POVM définies par la donnée d’un ensemble d’opérateurs hermitiques positifs constituant une partition de l’opérateur unité. La règle de projection de ces POVM rappelle celle des mesures standard, mais la propriété de reproductibilité des mesures n’est plus satisfaite. Nous avons ensuite montré comment la mesure POVM apparaît comme une mesure standard effectuée sur un environnement auquel le système est couplé par une opération unitaire appropriée. Pour rendre cette analyse plus concrète, nous avons donné ensuite quelques exemples de POVMs. Commençant par la mesure d’un qubit, nous avons montré que l’on pouvait associer un POVM à quatre éléments aux vecteurs joignant l’origine de la sphère de Bloch aux sommets d’un tétraèdre régulier. Des mesures statistiques effectuées sur ce POVM permettent de définir l’état du qubit d’une façon équivalente à la définition standard à partir des valeurs moyennes des opérateurs de Pauli. La mesure d’un ensemble symétrique de N qubits peut se faire à l’aide d’un POVM à nombre infini d’éléments, construit sur la base des états cohérents du moment angulaire collectif du système. Nous avons décrit ce POVM et montré comment on pouvait le réaliser, tout au moins en principe, en associant à l’espace de Hilbert du système l’espace des positions d’une particule ponctuelle évoluant sur une sphère image de l’hyper-sphère de Bloch du moment angulaire collectif. Le POVM est réalisé en mesurant de façon standard la position de cette particule après l’avoir couplée au moment angulaire par une transformation unitaire. Le dernier exemple de POVM a porté sur la mesure d’un oscillateur harmonique. Nous avons défini un POVM à deux éléments en couplant l’oscillateur à un qubit sur lequel une mesure standard est effectuée. Nous avons ensuite généralisé ce modèle au produit de plusieurs POVM à deux éléments, réalisé en couplant successivement l’oscillateur à des qubits indépendants sur lesquels des mesures projectives sont réalisées. Ce modèle décrit la mesure quantique non destructive du nombre de photons d’un mode du champ dans une cavité, réalisé en envoyant dans la cavité un train d’atomes à deux niveaux, couplés dispersivement au champ. La donnée des résultats des mesures binaires sur les différents qubits projette le nombre de photons dans la cavité sur une valeur discrète, résultat de la mesure. Nous avons conclu sur cet exemple cette première leçon introductive de rappels de résultats établis dans les cours antérieurs.