Dans la septième et dernière leçon, nous avons commencé par décrire une autre méthode de reconstruction statistique de l’état d’un mode du champ, basée sur le principe d’entropie maximum. Alors que la méthode du maximum de vraisemblancedécrite à la leçon 6 détermine l’opérateur densité maximisant la probabilité d’obtention des fréquences des valeurs propres observées, la méthode d’entropie maximum obéit à une logique différente. Elle cherche parmi tous les opérateurs densité qui correspondent aux valeurs moyennes mesurées celui qui a l’entropie la plus grande. Cette condition revient à construire l’opérateur densité qui tient uniquement compte de l’information fournie par les mesures, sans ajouter aucune autre hypothèse. Il est alors naturel de considérer que l’état du système est celui qui correspond au désordre maximum compatible avec les contraintes données par le résultat des mesures. La recherche de l’opérateur densité du champ (et donc sa fonction de Wigner) se ramène à un problème de variation sous contrainte dont la solution exploite la méthode des multiplicateurs de Lagrange. On construit une combinaison linéaire de tous les opérateurs correspondant aux observables mesurées, dont les coefficients sont ces multiplicateurs, et on exprime l’opérateur densité comme une fonction exponentielle de cette combinaison. Les multiplicateurs de Lagrange sont alors déterminés par une méthode de moindre carré comparant les valeurs moyennes mesurées à celles qui correspondent à l’expression de l’opérateur densité. L’ajustement des multiplicateurs de Lagrange s’effectue par un algorithme itératif.
Dans la suite de la leçon, nous illustrons ces idées générales par la description de reconstruction d’états non-classiques réalisées dans des expériences d’électrodynamique quantique en cavité. Après quelques rappels sur le principe général de ces expériences, nous montrons comment elles permettent de préparer soit des états de Fock à nombre de photons bien défini, soit des états dits de « chats de Schrödinger » qui sont des superpositions d’états cohérents de phases différentes. Cette préparation est basée sur la mesure non destructive, à l’aide d’atomes de Rydberg traversant un à un la cavité, du nombre de photons contenus dans le champ. Cette mesure est basée sur une méthode d’interférométrie atomique de type Ramsey, déjà décrite dans le cours de 2007-2008. Une fois ces états non-classiques préparés, ils sont déplacés par mélange homodyne avec un champ cohérent de phase et d’amplitude ajustable et des mesures non destructives du nombre de photons dans le champ déplacé sont ensuite effectuées, toujours par interférométrie de Ramsey. Du résultat de ces mesures, l’opérateur densité du champ et sa fonction de Wigner sont déduits par le principe d’entropie maximum. Alternativement, la méthode du maximum de vraisemblance a également été employée pour reconstruire des états de Fock. Le cours 2009-2010 portant sur l’estimation et la reconstruction « passive » d’états sera prolongé en 2010-2011 par une série de leçons étudiant des méthodes actives de contrôle et de protection d’états quantiques combattant la décohérence.
