Résumé
En basse dimension, l’approximation non linéaire est généralement basée sur l’existence de régularités locales. Le cours montre que les bases d’ondelettes jouent un rôle particulier, car elles permettent d’obtenir des approximations quasi optimales de fonctions qui sont localement régulières. La régularité locale peut être spécifiée par un exposant de Lipchitz.
La transformée en ondelettes est définie par projection de x(t) sur des ondelettes qui sont des fonctions localisées. Celle-ci sont déduites d’une ondelette mère, qui est translatée et dilatée, ce qui permet de définir une base d’ondelettes. On démontre que l’exposant de régularité de Lipchitz local s’obtient à partir de la décroissance locale des coefficients d’ondelettes, lorsque l’échelle tend vers 0.
La décomposition d’un signal x(t) dans une base d’ondelettes est aussi reliée à une approximation par échantillonnage de t. Dans le cas où l’ondelette mère est une ondelette de Shannon, dont la transformée de Fourier est l’indicateur d’intervalles, la décomposition dans la base d’ondelettes s’obtient à partir du théorème d’échantillonnage de Shannon.
