Résumé
Pour optimiser le transport d’une distribution de probabilité en maximisant sa vraisemblance, il faut calculer le déterminant du Jacobien de ce transport. Dans le cas d’un transport itéré, il faut calculer ce déterminant pour chaque composante du transport. Cela nécessite d’utiliser des transports dont la structure mathématique est relativement simple. C’est l’approche prise par les algorithmes de « normalizing flow » comme GLOW, qui mettent en jeu des couplages affine avec des réseaux de neurones, et des convolutions linéaires inversibles. Ces algorithmes sont mieux maitrisés mathématiquement que les GAN mais les performances numériques sont de moins bonne qualité.
On évite le calcul du déterminant du Jacobien en passant à un flot continu qui effectue un transport progressif avec une équation différentielle ordinaires (ODE). Celle-ci dépend du champ de vitesses qui évolue dans le temps. L’existence d’une solution est garantie par le théorème de Cauchy Lipschitz si le champ de vitesses est Lipschitz. Le transport de la distribution de probabilités s’écrit alors par l’équation de Liouville.
Pour tenir en compte les erreurs de modèles et de précision de calculs, on introduit un bruit aléatoire Gaussien dans l’équation différentielle ordinaire, ce qui définit une équation différentielle stochastique. Cette fluctuation aléatoire introduit un terme de diffusion dans le transport de la distribution de probabilités. L’équation de Liouville devient une équation de Fokker-Planck qui inclue en plus un Laplacien qui induit une diffusion due au bruit aléatoire.
