Singularités et discontinuités dans les équations de Hamilton-Jacobi

Le cours de cette année a porté sur différents aspects de la théorie des solutions de viscosité et ses applications à l’étude d’équations complètement non linéaires, du second ordre, elliptiques éventuellement dégénérées et en particulier des équations de Hamilton-Jacobi du 1er ordre. Ont été abordées, d’une part, l’étude de singularité sur le bord provoquées par la présence simultanée d’annulation de la non-linéarité au bord et d’Hamiltoniens superlinéaires, et, d’autre part, une approche nouvelle de l’unicité des solutions par l’utilisation de fonctions auxiliaires généralisant les distances géodésiques associées à un Hamiltonien dans le cas particulier où il est homogène de degré 2.

Le premier thème a été motivé par un modèle d’économie mathématique introduit pour les industries minières. Et le second thème a pour application naturelle la théorie des solutions de viscosité stochastiques, introduite en collaboration avec P. E. Souganidis.

Nous ne présentons ici qu’un bref résumé des principaux résultats sur le second thème.

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