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Présentation

Les valeurs propres de certaines matrices aléatoires se comportent par miracle comme les particules d'un gaz à une dimension avec répulsion logarithmique. Le même système, mais vu en deux dimensions, est appelé « plasma à une composante » dans la littérature physique et est étudié comme modèle jouet de mécanique statistique, intéressant notamment pour les difficultés que pose la nature singulière et à longue portée de l'interaction. On présentera dans ce cours quelques méthodes pour l'étude mathématique de ces systèmes à l'échelle microscopique, vus comme objets probabilistes et analytiques. Il s'agit à la fois d'outils classiques (théorie des grandes déviations, calcul variationnel, transport de mesure, gamma-convergence, champs empiriques) et de constructions ad hoc (écrantage et régularisation, constructions explicites en volume infini, rôle du champ électrique). Cette étude s'inscrit dans le programme initié par Étienne Sandier et Sylvia Serfaty.