Résumé
Le cours commence par montrer la différence entre des approximations linéaires et non linéaires dans des bases orthonormées. L’approximation linéaire d’un signal x se fait en sélectionnant un nombre limité M de coefficients de décomposition dans une base alors qu’une approximation non linéaire peut adapter le choix de ces M coefficients en fonction de x, notamment en choisissant les plus grands. Un exemple d’approximations linéaires s’obtient avec un échantillonnage uniforme d’une fonction, par opposition à un échantillonnage adaptif et non linéaire, qui s’adapte à la régularité locale de la fonction.
Dans un cadre linéaire, le problème d’approximation en basse dimension est abordé en étudiant la régularité sous-jacente. La régularité d’une fonction x(t) peut se définir par l’existence de k dérivées d’énergies finies, ce qui correspond à la régularité de Sobolev. Les propriétés des dérivées sont caractérisées dans une base qui diagonalise l’opérateur de dérivation. Cet opérateur étant covariant par translation, on démontre qu’il s’agit de la base de Fourier. Le cours fait un bref rappel des propriétés des bases et de l’intégrale de Fourier. La régularité de Sobolev est définie sur l’intégrale de Fourier en une dimension.
