Colloque en anglais.
Symposium in English. Read the presentation in English below.
Présentation
Un défi fondamental, commun aux mathématiques et à la physique, consiste à comprendre comment les caractéristiques géométriques — qu’elles soient à grande échelle ou à un niveau de détail très fin — influencent les propriétés spectrales, et comment divers objets peuvent être comparés à travers ces propriétés.
Trouver des critères pour comparer formes, géométries et spectres est un thème transversal en mathématiques, qu'il s'agisse d'étudier deux objets donnés, de grandes familles d’objets de taille croissante, ou un seul objet géométrique observé à différentes échelles.
Plusieurs cadres analytiques abordent ces questions sous des angles complémentaires. L’analyse semiclassique, par exemple, décrit la propagation des ondes dans un système de taille fixe lorsque les longueurs d’onde deviennent très petites. La théorie de l’homogénéisation étudie le comportement spectral d’objets présentant des structures périodiques ou très oscillantes à fine échelle. Dans les deux cas, l’enjeu est de comprendre comment les détails géométriques microscopiques influencent les propriétés spectrales macroscopiques, comme le comportement des valeurs propres du laplacien ou d’opérateurs elliptiques plus généraux. La théorie des espaces métriques mesurés offre un cadre naturel pour étudier les limites d’objets géométriques pouvant développer des singularités.
Une autre approche est proposée par la topologie de Benjamini–Schramm (ou topologie locale faible), qui se concentre sur les objets géométriques de grande taille en comparant leur géométrie à des échelles intermédiaires, dites mésoscopiques. Dans ce cadre, l’environnement géométrique local est décrit de manière statistique, et cette information se reflète dans les mesures spectrales empiriques. Au-delà de la distribution globale des valeurs propres, un défi important consiste à comprendre des caractéristiques spectrales plus fines, comme la présence et la taille des trous spectraux. Le concept de convergence forte, issu de la théorie des probabilités libres, répond à cette problématique. Ces dernières années, de nouvelles techniques puissantes ont permis d’obtenir des résultats de convergence spectrale forte pour divers modèles géométriques aléatoires, rendant possible l’identification des trous spectraux limites.
La conférence explorera également la construction d’objets géométriques aux propriétés spectrales prescrites, avec une attention particulière portée aux surfaces hyperboliques arithmétiques.
Un accueil café est proposé à 9h15 en salle 7 et 8.