Transformées et bases d'ondelettes

Une transformée en ondelettes permet de réduire la dimensionnalité d’un signal en le décomposant sur une famille de petites ondes, qui sont dilatées et translatées. La transformée en ondelette calcule la corrélation entre un signal et ces ondelettes, à toutes les échelles et positions. Ce cours présente la transformée en ondelette continue et la transformée dyadique où les échelles sont limitées à des puissances de 2, ainsi que les bases d’ondelettes orthonormales. On résume les propriétés principales de ces trois types de représentations multi-échelles pour des signaux et des images. La condition de Littlewood-Paley garantie que la transformée en ondelette dyadique est un opérateur unitaire et donc inversible. Les bases d’ondelettes orthogonales se construisent avec une structure d’espace vectoriels emboités que l’on appelle multiresolutions. Ces multiresolutions sont reliées à l’existence de filtres qui gouvernent les passages d’une échelle à l’autre, et qui permettent d’implémenter l’algorithme de transformée rapide en ondelettes.

L’approximation non-linéaire d’un signal dans une base orthogonale d’ondelettes s’obtient en ne gardant que les grands coefficients d’ondelettes. Cela revient à construire une approximation qui s’adapte à la régularité locale du signal. La décroissance de l’erreur d’approximation d’un signal est reliée à sa régularité Lipchitzienne. Des applications sont montrées pour le débruitage de signaux et d’images, par seuillage des coefficients d’ondelettes. Cela permet de restaurer les zones régulières de l’image ainsi que ses contours.