Le concept de nombre

Le concept de nombre recouvre des contenus assez divers. Il importe donc d'introduire d'emblée quelques distinctions terminologiques essentielles. Notre éducation nous a habitués aux symboles numériques : les nombres écrits en base 10 à l'aide des chiffres arabes, tels que « 1053 », ou exprimés à l'aide de noms de nombres tels que « mille cinquante trois ». Cependant, la psychologie cognitive montre l'importance, chez l'animal et le très enfant, de la perception non-symbolique du nombre, où la quantité 13 peut être présentée sous la forme concrète d'un nuage de 13 points ou d'une séquence de 13 sons. Le nombre est ici considéré comme la propriété d'un ensemble, à laquelle on réfère souvent par les termes techniques de cardinalité ou de numérosité. Enfin, l'ordinalité fait référence au rang d'un élément dans une série ordonnée. On s'y réfère verbalement par le biais de nombres ordinaux (par exemple « treizième »). Le concept de nombre, chez l'adulte éduqué, consiste en l'intégration harmonieuse de ces différentes facettes symboliques et non-symboliques du nombre.

Il va de soi que le mathématicien souhaiterait prolonger cette liste en direction des entiers relatifs, des fractions, des nombres réels ou complexes, voire des quaternions ou des matrices... Pour lui, peut-être considéré comme un nombre tout objet mental susceptible d'être manipulé selon certaines opérations cohérentes. Pour l'instant, cependant, la psychologie cognitive ne s'est guère penchée sur ces concepts mathématiques de plus haut niveau. Nous nous en tiendrons donc à la perception non-symbolique de la numérosité et sa mise en liaison avec les symboles écrits ou parlés des nombres.

La perception de la numérosité

L'adulte dispose d'au moins trois processus cognitifs distincts d'énumération, c'est-à-dire d'appréhension de la numérosité d'un ensemble d'objets :

  • la subitisation ou «subitizing» en anglais fait référence à l'appréhension immédiate des petites numérosités (un, deux, ou trois objets);
  • l'estimation permet d'évaluer, d'une manière approximative, la numérosité d'un ensemble de taille arbitraire. Les recherches de Véronique Izard, au laboratoire, ont montré qu'un adulte non-entraîné estime efficacement et rapidement des ensembles même très grands. Toutefois, le nombre perçu n'est pas toujours relié linéairement au nombre effectivement présenté: la sous-estimation est fréquente, et une loi de puissance relie les deux quantités (Izard & Dehaene, 2008);
  • enfin, le comptage, dont les principes ont été étudiés par Gelman et Gallistel (1978), permet d'énumérer avec précision un ensemble quelconque. Il consiste à apparier, un par un, chacun des objets énumérés avec une liste de référence qui peut être verbale (noms de nombres) ou non-verbale (doigts, parties du corps).

Des recherches récentes confirment que les trois processus de subitisation, d'estimation et de comptage sont dissociables. La distinction entre subitisation et comptage est évidente lorsque l'on mesure le temps de dénomination de la numérosité d'un ensemble : au-delà de trois objets, le temps de réponse montre un soudain accroissement linéaire. L'imagerie cérébrale détecte, à cette frontière, une soudaine amplification de l'activité dans un vaste réseau cérébral lié au comptage verbal, et qui comprend notamment les régions pariétales postérieures bilatérales associées aux mouvements de l'attention. L'activité de ces régions est si caractéristique qu'elle permet de distinguer, pratiquement essai par essai, si le sujet a compté ou pas et combien d'objets ont été dénombrés (Piazza, Giacomini, Le Bihan, & Dehaene, 2003). Une dissociation entre subitisation et comptage s'observe également chez certains patients qui, à la suite d'une lésion cérébrale, développent une simultanagnosie (Dehaene & Cohen, 1994).

Jusqu'à très récemment, il était possible de soutenir que l'estimation et la subitisation n'étaient que le reflet d'un seul et même processus. En effet, l'estimation se caractérise par la loi de Weber : l'imprécision de l'estimation, mesurée par son écart-type, croît linéairement avec le nombre estimé, selon une constante de proportionalité appelée coefficient de variation ou fraction de Weber. Pour les tous petits nombres, la loi de Weber pourrait expliquer la subitisation, car elle aboutit à une précision suffisante pour discriminer et nommer les numérosités 1, 2 ou 3 sans pratiquement faire d'erreur. Ainsi la subitisation se réduirait à une sorte d'« estimation précise ». Toutefois, la recherche de Susannah Revkin, au laboratoire, montre que cette explication ne suffit pas (Revkin, Piazza, Izard, Cohen, & Dehaene, 2008). La précision avec laquelle nous détectons la présence d'un, deux ou trois objets dépasse celle attendue selon la loi de Weber, car elle excède de très loin celle avec laquelle nous discriminons 10, 20 ou 30 objets. Ainsi, la subitisation semble-t-elle faire appel à un système dédié, peut-être celui lié à l'appréhension des objets discrets (« object tracking » ou « object files » system, Feigenson, Dehaene, & Spelke, 2004).

Le développement de la perception numérique

Les tests Piagétiens de conservation du nombre et d'inclusion de classes ont initialement suggéré que le jeune enfant était dépourvu de mécanismes invariants d'appréhension du nombre. Cependant, cette conclusion a été nettement infirmée avec l'avènement de nouvelles méthodes d'expérimentation chez le très jeune enfant, fondées sur l'adaptation et la réaction à la nouveauté ou à la violation de lois physiques. De nombreuses études ont démontré une sensibilité à la numérosité chez l'enfant de 4-6 mois. Par exemple, un bébé de six mois détecte quand la numérosité d'un ensemble change de 8 à 16 objets ou vice-versa, même lorsque les paramètres non-numériques tels que la densité et la surface totale sont constants (Xu & Spelke, 2000). Les enfants détectent également la violation des règles d'addition et de soustraction, au moins d'une façon approximative. Par exemple, lorsqu'ils voient 5 objets, puis 5 autres, disparaître derrière un écran, ils s'attendent à voir apparaître environ 10 objets et expriment leur surprise en regardant plus longuement lorsque l'écran s'abaisse et révèle seulement 5 objets (McCrink & Wynn, 2004 ; Wynn, 1992).

Si l'estimation est bien démontrée chez le très jeune enfant, la perception des petites numérosités 1, 2 ou 3 a été plus débattue. Certains ont suggéré que leur discrimination n'était due qu'à des paramètres confondants tels que la quantité totale de matière (voir Feigenson et al., 2004). Cependant de nouveaux résultats très récents indiquent que les enfants peuvent, selon le contexte, prêter attention soit à la numérosité, soit aux paramètres non-numériques (Feigenson, 2005). Cordes and Brannon (2008) vont jusqu'à suggérer qu'il est plus simple, pour l'enfant, de prêter attention au nombre qu'à la quantité totale de matière, dans la mesure où leur fraction de Weber est plus élevée dans le second cas. Au laboratoire, nous avons effectivement observé, à l'aide des potentiels évoqués, une discrimination des numérosités 2 et 3 en l'absence de tout artefact non-numérique (Izard, Dehaene-Lambertz, & Dehaene, 2008).

Ainsi tant la subitisation que l'estimation et la capacité de calcul approximatif semblent présents chez l'espèce humaine dès la première année de vie. Il est fascinant de constater que cette intuition numérique existe également chez de nombreuses espèces animales (pigeons, rats, lions, singes, dauphins...). Elizabeth Brannon, en particulier, a systématiquement mis en parallèle les compétences arithmétiques de l'homme adulte et du singe macaque, dans des tâches qui sollicitaient la perception approximative des numérosités, leur addition et leur comparaison (Cantlon & Brannon, 2007). Elle observe une psychophysique très similaire, la précision des calculs étant simplement meilleure chez l'homme.

Liens avec l'arithmétique symbolique

Dans quelle mesure ces compétences précoces pour la manipulation des numérosités non-verbales sont-elles pertinentes pour la compréhension de l'intuition des symboles numériques à l'âge adulte ? De nombreuses expériences suggèrent que, dès qu'un adulte éduqué perçoit un nom de nombre ou un nombre en notation arabe, cette entrée symbolique est rapidement et automatiquement traduite mentalement en une quantité approximative dont la manipulation interne obéit aux mêmes lois que celles de la manipulation des numérosités perçues sous forme d'ensembles d'objets. Ainsi, l'expérience fondatrice de Moyer et Landauer (1967) a montré que, lorsque nous décidons lequel de deux chiffres est le plus grand, notre temps de réponse varie en fonction inverse de la distance numérique qui les sépare. La taille des nombres influe également sur le jugement comparatif des nombres présentés sous forme symbolique, et la loi de Weber rend bien compte de l'ensemble de ces données. Plus surprenant encore, tel est également le cas lorsque nous jugeons si deux nombres sont pareils ou différent - la réponse « différent » est plus lente pour 8 contre 7 que pour 8 contre 1. La vérification des opérations symboliques démontre également un effet de distance numérique : lorsqu'une opération évidemment fausse nous est proposée, la grande distance qui sépare le résultat proposé du résultat correct nous permet de le rejeter sans faire le calcul exact (Ashcraft & Stazyk, 1981). Enfin, une lésion cérébrale peut faire perdre toute capacité de calcul exact, tout en laissant intact cette compétence basique pour l'approximation (Dehaene & Cohen, 1991). Ainsi l'approximation des quantités numériques, fondée sur la loi de Weber, apparaît-elle comme une compétence fondamentale qui transparaît dans de nombreuses tâches symboliques.

Tout récemment, une étude développementale a confirmé que l'intuition arithmétique des quantités approximatives précède et sous-tend l'apprentissage ultérieur de l'arithmétique symbolique (Gilmore, McCarthy, & Spelke, 2007). Gilmore et coll. ont donné à des enfants de 5 et 6 ans, en maternelle, des problèmes verbaux tels que « Sarah possède 21 bonbons, et on lui en donne 30 de plus. Jean, lui, en a 34. Qui en a le plus ? » Les enfants n'avaient reçu aucun enseignement explicite des nombres de cette taille, ni des opérations d'addition et de soustraction. Cependant, quel que soit leur niveau socio-économique, ils répondaient bien au delà du niveau du hasard (60-70 % de réussite), et leurs performances suivaient la loi de Weber, ce qui laissait penser qu'ils traduisaient mentalement les problèmes symboliques en quantités afin d'exploiter leur intuition non-symbolique. Plus important encore, leurs performances dans cette évaluation de l'intuition arithmétique corrélaient avec leur réussite en mathématiques à l'école. Holloway et Ansari (2008) ont également rapporté, chez des enfants un peu plus âgés (6-8 ans), que la variabilité de l'effet de distance au cours de la comparaison numérique prédit la réussite scolaire en mathématiques, mais pas les scores de lecture. Dans l'ensemble, ces résultats suggèrent que l'appréhension de la numérosité approximative et des relations de distance entre les nombres, fondée sur la loi de Weber, joue un rôle déterminant pour la bonne compréhension ultérieure de l'arithmétique symbolique.