Résumé
Nous abordons dans ces deux cours (18 et 25 mars 2022) la description d’une méthode puissante pour traiter le cas d’un gaz de Bose en interaction, l’approche de Bogoliubov. Cette approche permet de décrire l’état fondamental du gaz ainsi que son spectre d’excitation à basse énergie, moyennant un certain nombre d’approximations que nous détaillons. Cette méthode part d’un potentiel binaire d’interaction entre les particules et est fondée sur l’hypothèse que l’action de ce potentiel ne modifie pas beaucoup l’état fondamental du fluide par rapport au cas du gaz parfait.
La méthode de Bogoliubov, même si elle est un outil communément employé, comporte certaines subtilités provenant du fait qu’il est difficile de l’utiliser avec le potentiel interatomique réel. Pour toutes les espèces atomiques utilisées au laboratoire, ce potentiel – qui décrit notamment l’interaction de van der Waals – contient en effet de nombreux états liés à deux particules. Le véritable état fondamental du système est donc très différent du condensat de Bose-Einstein formé à partir du gaz monoatomique trouvé dans le cas sans interaction, et également très éloigné du fluide préparé, dans un état métastable, dans les expériences d’atomes froids.
On utilise fréquemment la méthode de Bogoliubov avec un potentiel de contact, donc de portée nulle. Le couplage est alors défini à partir de la longueur de diffusion a du problème physique. Toutefois, on sait (cf. cours 2020-2021) qu’un tel potentiel conduit à des divergences dès l’ordre 2 de la série de Born. A fortiori, il ne permet pas de décrire de manière simple l’interaction entre N particules. Certaines expressions, comme la vitesse du son ou la déplétion quantique, peuvent être calculées sans difficulté alors que d’autres, comme l’énergie de l’état fondamental, divergent.
L’approche que nous explorons dans un premier temps utilise un potentiel régulier, de portée non nulle, dont la transformée de Fourier est également régulière. Nous supposons que l’action de ce potentiel à deux corps peut être décrite dans le cadre de l’approximation de Born. Dans un gaz de Bose sans interaction, l’état fondamental est obtenu en plaçant les N particules dans l’état d’impulsion nulle k = 0. Nous commençons donc par utiliser le fait que le potentiel peut être traité comme une faible perturbation pour effectuer un développement systématique de l’hamiltonien à N corps, en supposant que la population moyenne de l’état d’impulsion nulle reste majoritaire. Cela nous permet d’obtenir une expression approchée de l’hamiltonien ne contenant que des termes quadratiques en les opérateurs création et destruction d’une particule dans un état d’impulsion k non nulle. Plus précisément, la structure de l’hamiltonien fait apparaître une somme de termes indépendants, portant chacun sur une paire (+k, −k). Nous commençons par nous concentrer sur une paire donnée pour détailler la méthode de Bogoliubov, qui utilise une transformation canonique pour diagonaliser cet hamiltonien de paires. Nous nous illustrons cette méthode de diagonalisation sur le cas d’un gaz spineur à l’approximation du mode spatial unique. Enfin, nous décrivons le retour vers un nombre infini de paires et vers un potentiel de contact, avec les problèmes de convergence qui peuvent alors se poser. Nous calculons l’énergie de l’état fondamental du système, appelée énergie de Lee-Huang-Yang, et nous discutons la validité du développement à la base de cette méthode. Pour finir, nous décrivons un certain nombre d’expériences récentes qui ont permis de mesurer précisément la valeur des différentes quantités physiques prédites par cette approche.
