La combinatoire additive est une branche des mathématiques qui s’intéresse aux relations entre diverses propriétés des ensembles d’entiers, et plus généralement des sous-ensembles d’autres structures algébriques. Elle s’est développée rapidement au cours des trente dernières années et, ce faisant, a révélé des liens avec plusieurs autres branches des mathématiques, allant des systèmes dynamiques à la théorie des groupes. Plusieurs des théorèmes fondamentaux du sujet peuvent être prouvés à l’aide de l’analyse de Fourier, mais d’autres résultats nécessitent une sorte d’« analyse de Fourier d’ordre supérieur » où les fonctions de phase linéaires sont remplacées par des fonctions de phase polynomiales et leurs généralisations. Le cours de cette année a considéré les résultats linéaires et sera suivi, en 2022, d’un cours qui examinera les résultats qui nécessitent des méthodes d’ordre supérieur.
Deux points forts du cours ont été le théorème de Roth et le théorème de Freiman. Le premier énonce que, pour tout nombre réel c > 0, si n est suffisamment grand et A est un sous-ensemble de {1,2,…,n} de taille au moins cn, alors A contient nécessairement une progression arithmétique de longueur 3. Le second décrit la structure d’un ensemble d’entiers dont la somme est petite : la somme d’un ensemble A est l’ensemble de toutes les sommes x + y telles que x et y sont tous deux des éléments de A. Un troisième résultat présenté dans le cours était un théorème que j’ai prouvé et qui sert d’introduction à la combinatoire additive non abélienne.