Résumé
Dans le cinquième cours, le lemme de plongement de Ruzsa a été prouvé. Ensuite, les ensembles de Bohr ont été définis, et un lien a été expliqué entre les ensembles de Bohr et les ensembles obtenus par l’intersection d’un treillis avec un ensemble convexe symétrique. Ceci a été suivi par l’énoncé et la preuve du lemme de Bogolyubov, qui montre que, si A est un sous-ensemble dense d’un groupe cyclique, alors l’ensemble A + A − A − A contient un grand ensemble de Bohr de petite dimension, ce qui est suffisant pour garantir qu’il a un haut degré de structure. Ensuite, tous ces outils ont été réunis pour prouver une forme du théorème de Freiman qui est légèrement plus faible que la version habituellement énoncée, mais suffisante pour les applications. Ceci a été suivi par l’énoncé d’un théorème de Balog et Szemerédi, dans une version quantitative découverte par moi.
