Convergences de spectres et notes fondamentales

Si deux objets géométriques se ressemblent, peut-on comparer leurs spectres de vibrations ? Cette question subtile demande au préalable de se demander ce que signifie « se ressembler » et « comparer » des spectres. Les premiers cours dresseront un état des lieux des différentes notions de convergence pour des variétés, graphes ou espaces métriques plus généraux, et leur répercussion sur le spectre du laplacien : topologies de Gromov-Hausdorff, de Benjamini-Schramm, homogénéisation, convergence au sens de Mosco… La suite du cours se concentrera sur les notions de convergence spectrale faible ou forte pour les suites de matrices aléatoires, les familles de grands graphes ou encore les surfaces hyperboliques de grand genre. On présentera et on comparera une sélection de résultats récents, dont la spectaculaire méthode polynomiale de Chen–Garza-Vargas–Tropp–Van Handel (2024).