Résumé
Les deux derniers cours remontent à la source de la notion de « convergence spectrale forte », et abordent le spectre des grandes matrices hermitiennes aléatoires de taille NxN, tirées selon une loi gaussienne (modèle GUE). On décrit le travail fondateur de Haagerup–Thorbjørnsen qui énonce la convergence forte de matrices hermitiennes gaussiennes indépendantes A^{N}_1, ... A^{N}_r vers une famille semi-circulaire libre, quand N est grand. Pour une famille de matrices aléatoires indépendantes, l'« astuce de linéarisation de Pisier » ramène le problème de la convergence forte (non-linéaire en les matrices) à la comparaison du spectre de combinaisons linéaires de ces matrices. De manière désormais classique, on passe par la transformée de Stieltjes pour comparer les spectres.
Références
- U. Haagerup, S. Thorbjørnsen. A new application of random matrices: Ext(C∗red(F2)) is not a group. Annals of Mathematics, 162 (2005), 711–77
- G. Pisier, On a linearization trick. L’Enseignement Mathématique (2) 64 (2018), 315–326
- R. Froese, D. Hasler, W. Spitzer, Transfer matrices, hyperbolic geometry and absolutely continuous spectrum for some discrete Schrödinger operators on graphs, Journal of Functional Analysis, Volume 230, Issue 1, 1 January 2006, Pages 184-221
