Résumé
On démontre que la transformée de Stieltjes des matrices aléatoires hermitiennes NxN est point fixe d'une certaine transformation (à N^{-2} près).
La fin de l'étude est effectuée selon une méthode inspirée de Froese-Hasler-Spitzer : on montre que la transformation dont on étudie le point fixe agit sur le demi-espace de Siegel, et on utilise la géométrie de cet espace pour montrer qu'elle est contractante. Cela permet de montrer que la transformée de Stieltjes au niveau des matrices NxN est proche du véritable point fixe, qui est la transformée de Stieltjes provenant de lois semi-circulaires. La convergence forte en découle.
Références
Cas des matrices GUE :
- U. Haagerup, S. Thorbjørnsen. A new application of random matrices: Ext(C∗red(F2)) is not a group. Annals of Mathematics, 162 (2005), 711–77
Cas des matrices GOE et symplectiques :
- H. Schultz, Non-commutative polynomials of independent Gaussian random matrices. The real and symplectic cases. Probab. Theory Relat. Fields 131, 261–309 (2005)
Autres références :
- R. Froese, D. Hasler, W. Spitzer, Transfer matrices, hyperbolic geometry and absolutely continuous spectrum for some discrete Schrödinger operators on graphs, Journal of Functional Analysis, Volume 230, Issue 1, 1 January 2006, Pages 184-221
- J. Mingo, R. Speicher, Free Probability and Random Matrices (Chapitre 3). Fields Institute Monographs, Springer, 2017
