Résumé
Dans ces deux premières séances, nous posons la question générale de savoir comparer des objets géométriques et le spectre de leurs laplaciens.
Cela demande d'introduire diverses topologies, permettant de dire quand et de quelle manière deux objets peuvent "se ressembler", ainsi que de mesurer la "distance" entre les spectres.
On parcourra une liste non exhaustive d'exemples tirés de la littérature récente, dans divers domaines des mathématiques.
Exemples :
1) et 2) : Rectangles et cônes
3) Graphes métriques épaissis (d'après Exner & Post)
4) Convergences d'espaces métriques au sens de Gromov-Hausdorff, sous la condition RCD(K, N) (d'après Cheeger-Colding, Gigli-Mondino-Savaré)
Références
- S. Beckus and J. Bellissard, Continuity of the Spectrum of a Field of Self-Adjoint Operators, Ann. Henri Poincaré 17 (2016), 3425–3442
- P. Exner, O. Post: Convergence of spectra of graph-like thin manifolds, J. Geom. Phys. 54 (2005), 77–115.
- O. Post and S. Zimmer, Generalised norm resolvent convergence: comparison of different concepts, J. Spectr. Theory 12 (2022), 1459–1506
- J. Cheeger and T. Colding, On the Structure of Spaces with Ricci Curvature Bounded Below. Ill J. DIFFERENTIAL GEOMETRY 54 (2000) 37-74
- N. Gigli, A. Mondino, and G. Savaré : Convergence of pointed non-compact metric measure spaces and stability of Ricci curvature bounds and heat flows, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 2015
- N Gigli : De Giorgi and Gromov working together, https://arxiv.org/abs/2306.14604
